Hace poco estaba viendo un hoax que me llegó por triplicado recientemente a mi email, titulado “multiplicaciones mayas”, seguido de las clásicas expresiones de admiración como “sorprendente, tienes que verlo”, “método orgullosamente mexicano”, “Matemáticas Principio Tzeltal (Maya Antiguo)”, etc.
La diferencia entre éste hoax y los cientos que normalmente recibo en el clásico formato de power point, es que éste hoax viene presentado en video.
Una de las características que me llaman mucho la atención de los hoaxes en video, es que el impacto (idiotizante) que tienen es mucho mayor que el de los hoaxes en formato texto, pues es muy común que los usuarios atiendan al dicho de “ver para creer”, razón por la cual este tipo de hoaxes son mas “peligrosos”, en especial si se considera el hecho de que además del email como medio de difusión le ayudan las paginas para albergar videos como youtube, metacafe, dailymotion, facebook o twitter.
Y para que se den una idea de la amplia difusión que tiene este video-hoax en la red, simplemente escriban “multiplicaciones mayas” en algún buscador de internet (como google) y verán la inmensa y extensa cantidad de paginas que dicen, aseguran, juran y perjuran que el método presentado ahí, es de los mayas.
Ahora, es necesario hacer la aclaración de que en el caso particular de este hoax, la información que se presenta no se considera falsa, lo que se considera falso (razón por la cual es un hoax) son los atributos (créditos) de autoría de esa información.
Para entenderlo mejor, se puede hacer una analogía de éste hoax, como por ejemplo con el poema del mío cid o cantar de mío cid, el cual es una joya de la literatura española de la cual se desconoce el nombre del autor.
Ahora imagínese que de pronto alguien nos mandara un video (o lo pusiera en youtube) diciéndonos que el poema del mío cid lo escribió Miguel de Cervantes Saavedra, ó que El Lazarillo de Tormes (para orgullo de los mexicanos) lo escribió Octavio Paz, siendo que ambas piezas literarias fueron escritas por autores anónimos.
El hoax de “las multiplicaciones mayas” es un video en el que se muestra un (interesante) método grafico de multiplicación, del cual se desconoce al autor de dicho método, y que de manera muy inapropiada se lo atribuyen a los mayas, lo cual constituye una gran falsedad.
A continuación se muestra el video en cuestión.
Una de las razones por la cual me imagino que se comenzó a relacionar este método grafico con los mayas es por el hecho de que la numeración maya se representaba por medio de puntos, rayas y una concha (cero) y en el método que se nos presenta en el video-hoax, se trazan líneas y las intersecciones se resaltan con puntos, por lo que algún despistado admirador (que no conocedor) de la cultura maya al quedar impresionado con el método lo relacionó.
Para salir de dudas totalmente hay que saber algo de sistemas de numeración, en especial del sistema de numeración maya.
En resumen, el método anterior no corresponde a los Mayas, si quiere saber el porque hago esta afirmación, continúe leyendo, pues de aquí en adelante se da la explicación.
Antes de continuar es importante recordar
¿Qué es un número?
Para consecuentemente saber qué es un sistema de numeración y así progresivamente saber como funciona el sistema numérico maya, y nos daremos cuenta de que el método grafico presentado en el video-hoax anterior no corresponde a los mayas.
Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad (de una magnitud). El símbolo de un número recibe el nombre de numeral o cifra.
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena.
El concepto de número se ha relacionado con la forma de representarlo. En la medida que el hombre tuvo conciencia de cantidades mayores, fue desarrollando mejores formas de escribir esas cantidades.
Como se indicó anteriormente, la idea de número, es necesario escribirla de alguna manera, para comunicarla con otras personas, por ejemplo:
Si se tiene una docena de naranjas (funciona igual con manzanas o fresas), se puede escribir como:
Del ejemplo, se nota que aunque todas las notaciones empleadas, representan el mismo número (es decir, la misma cantidad de naranjas), cada una de ellas tiene diferente forma de escribir esa cantidad, ya que se han utilizado diferentes sistemas de numeración.
Se define un sistema de numeración, como un conjunto de signos, símbolos (guarismos) y una base, utilizados para representar números.
Por ejemplo en el sistema de numeración vigesimal maya, se utilizan los signos: el punto, la barra y una concha para el cero, luego con una combinación de estos se construyen los símbolos, para representar los números del cero al diecinueve. Y con una combinación de estos símbolos se escriben las demás cantidades, como se explica más adelante.
Se define un sistema de numeración, como un conjunto de signos, símbolos (guarismos) y una base, utilizados para representar números.
Por ejemplo en el sistema de numeración vigesimal maya, se utilizan los signos: el punto, la barra y una concha para el cero, luego con una combinación de estos se construyen los símbolos, para representar los números del cero al diecinueve. Y con una combinación de estos símbolos se escriben las demás cantidades, como se explica más adelante.
Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos.
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema ejemplos:
- El número 125(10) es un número válido en el sistema decimal, pero el número 12A(10) no lo es, ya que utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.
- El número 35(8) es un número válido en el sistema octal, pero el número 39(8) no lo es, ya que el símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.
- El número F1E4(16) es un número válido en el sistema hexadecimal, pero el número FKE4(16) no lo es, ya que el símbolo K no es un símbolo válido en el sistema hexadecimal.
Las lenguas naturales sin ser sistemas formales de numeración son sistemas que generalmente cuentan con un procedimiento para nombrar los numerales. La base de los sistemas encontrados en las lenguas del mundo son la base 10 y la base 20, ya que dichos sistemas se originaron en el contaje de dedos de manos (y a veces también de pies).
Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales:
En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número, por ejemplo el sistema de numeración egipcio, en el que el símbolo de la flor de loto siempre equivale a mil, sin importar la posición en la que se encuentre.
En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número, por ejemplo el sistema decimal que utilizamos normalmente.
Sistemas de numeración semi-posicionales, el sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por ejemplo, en el número romano XCIX (99 decimal) los numerales X (10 decimal) del inicio y del fin de la cifra equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición dentro de la cifra.
El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración posicional, gracias al invento del cero, con una base constante.
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA
Los mayas inventaron un sistema de numeración como un instrumento para medir el tiempo y no para hacer cálculos matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con los días, meses y años, y con la manera en que organizaban el calendario.
En la numeración maya sólo había tres símbolos para representar los números, aunque estas formas podían variar según el uso: algunas eran para los monumentos, otras para los códices y otras eran representaciones humanas.
En el sistema de numeración maya las cantidades son agrupadas de 20 en 20; por esa razón en cada nivel puede ponerse cualquier número del 1 al 19. Al llegar al veinte hay que poner un punto en el siguiente nivel; de este modo, en el primer nivel se escriben las unidades, en el segundo nivel se tienen los grupos de 20 (veintenas), en el tercer nivel se tiene los grupos de 20×20 y en el cuarto nivel se tienen los grupos de 20×20×20.
Los tres símbolos básicos eran el punto, cuyo valor es uno (1); la raya, cuyo valor es cinco (5); y el caracol, cuyo valor es cero (0). Los mayas idearon un sistema de base 20, con el 5 como base auxiliar. La unidad (1) se representa por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4.
El 5 era una raya horizontal, a la que se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas. Los números pueden escribirse tanto de manera horizontal como de manera vertical.
Este sistema de numeración es aditivo, porque se suman los valores de los símbolos para conocer un número. El punto no se repite más de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una raya. La raya no aparece más de 3 veces. Si se necesitan 4 rayas, entonces quiere decir que se quiere escribir un número igual o mayor que 20.
Para escribir un número más grande que veinte se usan los mismos símbolos, pero cambian su valor dependiendo de la posición en la que se pongan. Los números mayas se escriben de abajo hacia arriba. En el primer orden (el de hasta abajo) se escriben las unidades (del 0 al 19), en el segundo se representan grupos de 20 elementos.
Por esto se dice que el sistema de numeración maya es vigesimal y posicional. Por ejemplo, del 20 al 25, se requieren dos niveles:
Podemos observar cómo se escriben otros números:
En el segundo orden cada punto vale 20 unidades y cada raya vale 100 unidades. Por lo tanto, el 9 del segundo orden vale 9×20=180. Esas 180 unidades se suman con las 6 del primer orden y se obtiene el número 186.
El tercer orden tendría que estar formado por grupos de 20 unidades (20×20×1); o sea, cada punto tendría que valer 400 unidades. Sin embargo, el sistema de numeración maya tiene una irregularidad: los símbolos que se escriben en este orden valen 18×20×1 para el sistema calendárico. Esto quiere decir que cada punto vale 360 unidades. Esta irregularidad tiene que ver con que los años mayas (tunes) están formados por 360 días, el múltiplo de 20 más cercano a 365.
Por lo que el punto en el 3er. nivel vale 360 únicamente en el cómputo de fechas y 400 en los demás casos.
Los mayas vinculaban los números del primer orden con los días (kines, en maya k’ino’ob), los del segundo orden con los meses (uinales, en maya uinalo’ob) y los del tercer orden con los años (tunes, en maya tuno’ob). En el primer número, el valor de la raya del tercer orden es 1800 (5×360), el valor del 9 del segundo orden es 180 (9×20) y el valor del 8 del primer orden es 8 (8×1); por lo tanto, el número es 1.988.
El sistema de numeración maya tiene 4 niveles, que se utilizaban para hacer grandes cantidades.
¿COMO ESCRIBÍAN LOS MAYAS LOS NÚMEROS?
Ahora si que “como crecen las plantas”, de abajo hacia arriba, de manera vertical aunque también utilizaban las posiciones de manera horizontal.
Para entender la sencillez y precisión de la ciencia matemática de los mayas, la utilización del tablero es un factor indispensable; sobre esta cuadrícula se realizaban las operaciones y los cálculos con los que se contabilizaron desde las pertenencias, los impuestos y la repartición de las cosechas, hasta los eventos astronómicos y los ciclos del tiempo.
El posicionamiento dentro del tablero, los cálculos y las operaciones aritméticas se realizan por medio de mecanismos fáciles de comprender. Los niveles del tablero incrementan su valor de abajo hacia arriba, de acuerdo a la posición que tiene el numeral dentro de dicho tablero, como se muestra a continuación, ordenando los numerales por unidades, veintenas, veintenas de veintenas, veintenas de veintenas de veintenas, etcétera, por lo que un punto (o unidad) en cada nivel, tendría la siguiente equivalencia:
Un punto en la 6ª posición 3,200,000
Un punto en la 5ª posición 160,000
Un punto en la 4ª posición 8,000
Un punto en la 3ª posición 400
Un punto en la 2ª posición 20
Un punto en la 1ª posición 1
Este mecanismo permitió a los mayas hacer cálculos con números estratosféricos; por ejemplo, el número 25 673 295, se representa en maya de la siguiente manera, utilizando seis niveles o posiciones del tablero:
El número 100 merece especial atención por cuanto para escribirlo se emplea la base secundaria 5, al sustituir 5 puntos por una barra que, en el segundo nivel, más el cero en el primer nivel equivalen a:
Los números mayas pueden escribirse con dos niveles hasta llegar al 400 que requiere de tres niveles:
El sistema de numeración maya se puede extender a números no enteros, aunque no se sabe cuál era el símbolo empleado por los mayas para la separación, nosotros lo llamaremos cuadrado vigesimal a partir del cual se tendrán potencias de base veinte elevadas a números negativos.
Por ejemplo, 10.1 se escribe:
Donde la expresión 2*20^(-1) se lee: dos que multiplica al numero veinte elevado a la potencia (-1). Esta expresión resulta ser igual a 0.1
Ahora si
¿CÓMO MULTIPLICABAN LOS MAYAS?
Para efectuar la operación aritmética de la multiplicación, los mayas emplearon un algoritmo diferente al utilizado en nuestro sistema de numeración decimal.
En nuestro sistema de numeración se multiplica cada uno de los dígitos que componen el factor (A) por cada uno de los dígitos que componen el factor (B) y posteriormente sumamos los resultados, dejando el espacio correspondiente.
Los mayas aprovechaban una cuadrícula que llamaremos ábaco. Los factores se situaban en la parte externa del ábaco multiplicándose por pares los números hasta llenar la cuadrícula. Un punto por un punto es igual a un punto (lo que equivale a afirmar que uno por uno es igual a uno), un punto por una barra es una barra (que equivale a afirmar que uno por cinco es cinco) y una barra por una barra es igual a cinco barras, es decir, una barra en el primer nivel y un punto en el segundo nivel (que equivale a afirmar que cinco por cinco es igual a veinte y cinco).
La respuesta de la multiplicación se obtiene a partir de las diagonales del ábaco, donde a cada diagonal le corresponde un nivel. Así, en un ábaco de dos por dos se tienen cuatro diagonales y en uno de tres por tres se tienen 5 diagonales.
1. Multiplicar: 45 * 3 = 135
<>
En este caso el resultado se obtiene de las tres diagonales tomadas según lo indica la flecha de doble punta. En el primer nivel (cuadro inferior izquierdo) tenemos 15 (tres puntos que multiplican a una barra equivalen a las tres barras del cuadro inferior izquierdo) y en el siguiente nivel 6 (barra y punto sumada a cero). El número de la tercera diagonal (cuadro superior izquierdo) no se toma en cuenta debido a que es cero (es el equivalente al “cero a la izquierda” en el sistema de numeración arábigo).
2. Multiplicar: 2023*2028 = 4102644
En este ejemplo hay necesidad de reagrupar los números conforme las reglas de escritura de números empleados por los mayas, donde cinco puntos se convierten en una raya y cuatro rayas en un punto en el superior. Los pasos intermedios se muestran en los dos rectángulos a la derecha del ábaco, mientras que la respuesta final corresponde al tercer rectángulo (a la derecha):
Se pueden apreciar cinco diagonales en el ábaco (en el dibujo sólo se señalan, con flechas de doble, punta tres de ellas, faltando las diagonales de los cuadros de los extremos superior izquierdo e inferior derecho) que corresponden a los cinco niveles que se muestran en la respuesta.
3. Multiplicar: 21.15 * 1.35 = 28.5525
En el siguiente ejemplo, aunque el ábaco tiene cinco diagonales, la respuesta consta de cuatro niveles, debido a que en la última diagonal (cuadro superior izquierdo) se tiene un cero. El lugar donde se cruzan las rectas vertical y horizontal de los cuadrados vigesimales señala la separación entre la parte entera y la no entera del número que expresa la respuesta (rectángulo en el extremo derecho).
Por lo anterior se concluye que las operaciones aritméticas de los mayas eran muy complejas, pero a la vez eran muy sencillas, pues implicaba, por ejemplo para el caso de la multiplicación que no había necesidad de memorizar las tablas de multiplicación.
Así mismo se concluye que el método grafico de multiplicación presentado en el video-hoax, NO corresponde a los Mayas.
Saludos a todos.
Este trabajo incluye ejemplos, citas, párrafos y definiciones consultados en las siguientes:
REFERENCIAS:
http://www.scielo.org.ve/scielo.php?pid=S1316-49102006000400007&script=sci_arttext
http://masalladelaultimafrontera.wordpress.com/2008/11/21/el-principio-tzeltal-o-como-multiplicaban-los-antiguos-mayas/
http://labitacora.net/ciencia/tipos-de-numeros/
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n
http://www.saber.ula.ve/bitstream/123456789/20127/2/articulo6.pdf
http://galeon.com/profedemateyfisica/matematicamaya.doc
http://www.matematicaparatodos.com/varios/mayas01.pdf
http://html.rincondelvago.com/operaciones-aritmeticas-con-numeros-mayas.html
me gustó mucho, gracias por todo.
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